Los límites de lo formal y la sustancia matemática Imágen de portada: O. Von Corven. La Gran Biblioteca de Alejandría. Siglo XIX. Dominio público, vía Wikimedia Commons

Los límites de lo formal y la sustancia matemática

Repaso de la filosofía e historia del optimismo matemático

MiguelMJ avatar MiguelMJ - 2023

Introducción

Planteamiento

El primer capítulo de esta serie está inspirado por las siguientes cuestiones:

Tras una breve introducción a los conceptos de pensamiento y representación, la primera parte del texto hace un repaso de los puntos clave de la evolución del pensamiento filosófico ligado a las matemáticas como explicación de la realidad. La segunda parte explica los límites del razonamiento matemático demostrados en la primera mitad del siglo XX. La tercera, las corrientes de la filosofía de las matemáticas y la lógica que surgieron durante la crisis de los fundamentos de las matemáticas. El texto concluye con una reflexión personal sobre la relación entre el ser humano y la verdad.

Representar: hacer concreto lo abstracto

El rasgo distintivo de la especie Homo sapiens es nuestra inteligencia; nuestra capacidad de elaborar modelos mentales del mundo que nos rodea para predecirlo y, en cierta medida, manipularlo. Podemos convertir los estímulos de nuestros sentidos y sus relaciones en algo que ya no está en el mundo exterior, sino representado internamente en nuestra mente. En esto consiste el pensamiento.

Lo que ha permitido al ser humano relacionarse y desarrollarse desde el pensamiento ha sido asignarle una representación externa: el símbolo. El símbolo nos permite preservar y comunicar nuestro modelo mental del mundo, nuestro conocimiento, desde el mismo paleolítico. Las pinturas rupestres y el comportamiento de los animales; los ídolos femeninos y el ciclo menstrual; los calendarios megalíticos y los ciclos del año… Nuestros ancestros evolucionaron gracias a la acumulación de su propio conocimiento en soportes físicos perdurables, que se perfeccionó con la invención de la escritura.

Fotografía de pintura prehistórica en Lascaux
Prof saxx. Fotografía de pintura prehistórica en Lascaux. CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons. Se ha teorizado que las marcas (puntos, rayas) que acompañan algunas pinturas servían para registrar información sobre los hábitos de los animales que se cazaban.

El pensamiento abstrae los estímulos del mundo en un modelo mental; la representación, el lenguaje, supone el proceso inverso, por el que manifestamos esa información interna mediante los símbolos. Razonamos al repetir el proceso de abstracción-representación, procesando los símbolos igual que los estímulos del mundo (inducción-deducción). Con el lenguaje, el pensamiento adquiere una forma lógica, para comprender el mundo indirectamente a través de su representación. ¿Cuál es el límite de esta capacidad? ¿Puede el potencial simbólico de nuestra mente abstraer y representar todo lo que existe? ¿Puede siquiera abstraerse y representarse a sí misma?

El Paraíso Terrenal
Jan Brueghel de Velours. El Paraíso Terrenal. 1610. CC BY-SA 4.0, vía Wikimedia Commons. En el Génesis, Dios no le da un lenguaje a Adán; en cambio, le trae todos los animales de la creación para que les ponga nombre. En este relato, lo primero que hace el ser humano es crear un lenguaje para llamar a toda bestia y ave de los cielos y a todo ganado del campo.

Una esperanza histórica

Las matemáticas de lo divino y lo pragmático

El lenguaje matemático es parte del lenguaje humano y sirve de base para la mayoría de las ciencias. Sabemos que las matemáticas se usaron muy temprano con fines prácticos, para la gestión económica y el comercio. ¿Pero cuándo se convirtieron en algo que podría definir toda la realidad?

La primera escuela de pensamiento que puso las matemáticas en un papel central fue fundada por Pitágoras de Samos en el siglo VI a.C., que creía que todas las cosas estaban formadas a semejanza de los números. Los pitagóricos intentaban explicarlo todo a través de la numerología y la geometría. Exploraron las propiedades numéricas de la naturaleza, en especial las de la música, y creían que a través de la armonía podía purificar su alma; muchas de las relaciones numéricas que posteriormente definirían cánones artísticos habrían sido definidas previamente por Pitágoras o sus discípulos.

En el siglo IV a.C., Platón se vio notablemente influenciado por enseñanzas pitagóricas, como la universalidad y eternidad de los números y que estos eran ajenos al mundo material. La tesis platónica de las Ideas fundamenta la mayoría de las posturas filosóficas que defienden que el estudio de las matemáticas trata sobre objetos abstractos. El platonismo matemático sostiene que los números, las figuras geométricas y demás objetos matemáticos existen independientemente y son comprensibles a través del intelecto y que, por lo tanto, el estudio de las matemáticas es el estudio de estos objetos, que aporta un conocimiento verdadero.

Mosaico en Pompeya de la Academia de Platón
Desconocido. Mosaico en Pompeya de la Academia de Platón. Siglo I a.C. Dominio público, vía Wikimedia Commons. Se dice que en la entrada de la Academia fundada por Platón, había una inscripción que decía: Que no entre quien no sepa geometría.

El discípulo de Platón más influyente en la cultura occidental, Aristóteles, desecha la doctrina de las Ideas en favor del realismo. Cuestiona la definición platónica de los principios universales a priori y defiende la necesidad de crear el conocimiento universal a partir del conocimiento particular (de lo que sucede en el mundo) y no al revés. Aristóteles también elabora una extensa crítica de las doctrinas del número de los pitagóricos. Sostiene que lo abstracto no existe separado de lo sensible; en lo referente a los números, que éstos sólo existen como magnitudes. El filósofo también realiza una distinción fundamental entre las diferentes ciencias y defiende que cada objeto requiere su propio método de estudio. A las matemáticas, les asigna sólo el estudio de objetos inmateriales y las separa del estudio de las causas, que asigna a la física.

Aristóteles define en sus obras lo que hoy conocemos como lógica formal. Para él, la lógica no es ni una ciencia ni un arte, sino una herramienta para el análisis y la dialéctica. Durante la Edad Media, su influencia se hace presente en las religiones abrahámicas a través de eruditos como Maimónides (judío), Tomás de Aquino (cristiano) o Avicena (musulmán). Durante siglos, la teología se convierte en el canal de cualquier actividad intelectual, por lo que las matemáticas no llegan a adquirir un papel central a nivel filosófico. Aun así, en algunos casos son consideradas como algo divino, cuyo estudio puede acercar al ser humano a Dios. Durante el Renacimiento Islámico (del siglo VIII al XIII), un notable desarrollo intelectual da lugar a nuevos descubrimientos matemáticos y científicos (entre muchos otros, la invención del álgebra como disciplina independiente) relevantes hasta el día de hoy.

Uno de los personajes medievales que en el siglo XIII adelantó a su manera los métodos matemáticos de los racionalistas modernos es el mallorquín Ramon Llull. Durante toda su vida mantuvo un estrecho contacto con la cultura árabe como misionero y como intelectual. La aportación que le vale la consideración de pionero en la teoría de la computación es el Ars Magna, un sistema de símbolos y operaciones lógicas con el que sistematizar mediante combinatoria el razonamiento sobre conceptos filosóficos, místicos y religiosos. Su intención era crear un sistema lógico formal, ajeno a los dogmas cristianos, que sirviera como un instrumento de diálogo intercultural e interreligioso. Si bien el Ars Magna no puede compararse con la lógica simbólica, está claro que se trata de uno de los primeros intentos de formalizar de manera sistemática y unificada el conocimiento de la verdad.

Ars compendiosa inveniendi veritatem (figura)
Ramon Llull. Ars compendiosa inveniendi veritatem (figura). Siglo XV. CC BY 4.0, vía Biblioteca Virtual del Patrimonio Bibliográfico. El Ars Magna utiliza estructuras rudimentarias similares a grafos y matrices para operar con las relaciones entre conceptos de manera automatizada. Sin estar a la altura de las propuestas de Leibniz sobre calculadoras universales, la de Llull se asomó a ellas siglos antes.

Las matemáticas como método unificado

En el siglo XVII, René Descartes, inquieto por la falta de certeza que le proporcionaban las ciencias, la religión y la filosofía, realiza una dura crítica a la escolástica, a Llull y a sus propios contemporáneos y decide reconstruir desde cero su pensamiento utilizando un solo método: el de las matemáticas. Esta manera de pensar supone un giro completo en la filosofía y una de las contribuciones esenciales para la posterior revolución científica y la modernidad misma. Descartes propone que un solo método es suficiente para estudiar la realidad y lo argumenta de dos maneras:

  1. El objeto de estudio es único. Galileo Galilei, oponiéndose a Tomás de Aquino y a Aristóteles, había defendido que la naturaleza es una sola y que ésta estaba escrita en lenguaje matemático. Descartes, que comulga con esa idea, construye un método para el conocimiento de las cosas que se corresponde con el método de las demostraciones matemáticas.
  2. El sujeto que conoce es también único. Para Descartes, el entendimiento humano puede aplicarse a muchas cosas, pero el entendimiento en sí no cambia por ello.

Su radicalización de la razón matemática no acaba en el uso del método. En su reconstrucción del conocimiento que puede distinguir con el uso de su razón, concluye que las únicas certezas que el mundo le proporciona son aquellas que pueda medir con magnitudes numéricas y que respondan a relaciones matemáticas (geometría, orden, proporcionalidad, etc.). Viendo que las matemáticas podían ser la fuente de tanta certeza y que además eran la raíz de otras ciencias como la astronomía, la música, la óptica, la mecánica, entre otras, Descartes imagina una disciplina llamada Mathesis universalis (ciencia universal), que contendría todo el conocimiento que pueda derivarse de las matemáticas.

Galileo Galilei enseña al Dux de Venecia a utilizar el telescopio
Giuseppe Bertini. Galileo Galilei enseña al Dux de Venecia a utilizar el telescopio. 1858. Dominio público, vía Wikimedia Commons. Es muy probable que Galileo tuviera influencia sobre Descartes, no sólo en su pensamiento, sino en la cautela que tuvo al escribir y publicar después del juicio del científico italiano.

El siguiente gran racionalista moderno es el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz, precursor, entre otras cosas, de la lógica simbólica. Su primera obra, De Ars Combinatoria, estuvo muy inspirado por Descartes y Llull, aunque critica a este último por su arbitrariedad. Un punto clave del pensamiento de Leibniz es que la razón humana opera sobre un alfabeto de símbolos mentales, a través de cálculos matemáticos. Leibniz propuso la creación de una characteristica universalis, un lenguaje universal que, al estar construido sobre el alfabeto de símbolos mentales, podría derivar todo el conocimiento accesible al ser humano. Y su optimismo no termina ahí: dado que la razón se reduce a cálculos, la validez de cualquier proposición expresada en el lenguaje universal podría determinarse mediante un algoritmo. Este podría realizarse mecánicamente, por una máquina hipotética, llamada calculus ratiocinator, que se comportaría como un motor de inferencias.

Los racionalistas modernos, como Descartes y Leibniz, confiaban en la razón por considerarla un don divino. Aunque en el XVII ya había aparecido el mecanicismo, se había extendido como una visión no determinista del mundo. Lo describían como un gran reloj puesto en marcha por Dios, a quien concebían como un ingeniero o arquitecto; una gran inteligencia ordenadora. Desde esta cosmovisión, compartida por mentes como Newton o Voltaire, la libertad humana también necesitaba un lugar, pues durante la Ilustración y en plena transición del Antiguo al Nuevo Régimen, la dignidad del individuo, el librepensamiento, los derechos universales, etc., necesitaban fundamentos que no considerasen el libre albedrío como una ilusión.

The Ancient of Days
William Blake. The Ancient of Days. 1794. Dominio público, vía Wikimedia Commons. Las matemáticas, para Descartes, sólo aportan certeza si confiamos en que Dios es benévolo y, por tanto, que nuestro entendimiento no está malformado. Si esto fuera así, no podríamos estar seguros de que los axiomas matemáticos no son una mera ilusión para nuestra mente limitada.

A estas alturas de la historia, el desarrollo de las matemáticas a un nuevo nivel volvía a sugerir la misma afirmación pitagórica de que el mundo se puede explicar numéricamente. La física newtoniana y la invención del cálculo infinitesimal abrían la puerta a nuevos modelos matemáticos de la realidad, cuyas implicaciones se habían previsto hacía tiempo en la filosofía, pero que tomaron forma con la entrada del siglo XIX. Fue entonces cuando Pierre Laplace propuso, en el Ensayo filosófico sobre las probabilidades, que una inteligencia conocedora de todas las leyes de la naturaleza, con la información de todos los elementos que la componen y capaz de procesar todos estos datos, vería el futuro con la misma claridad que el pasado. Autores posteriores llamaron Demonio de Laplace a esta entidad teórica, que se convirtió en el argumento paradigmático del determinismo causal. Esta postura defiende que el universo se reduce a leyes físicas y que no existe tal cosa como la libertad, porque todo lo el futuro está ya determinado por la consecución de un estado del mundo tras otro, ordenada por dichas leyes.

Así, quedaba planteada la implicación que un modelo formal completo de la realidad puede tener sobre la naturaleza humana. El mecanicismo llevado a sus consecuencias últimas, se hace incompatible con la creencia en el libre albedrío. Lo que en su momento se había postulado desde la creencia religiosa de la predestinación, fue formulado por Laplace desde una perspectiva no teísta.

Relieve de Demócrito
Walter Pompe. Relieve de Demócrito. 1762. Dominio público, vía Wikimedia Commons. El determinismo se remonta a la escuela griega de Abdera, con Demócrito como su mayor representante. Este presocrático fue el primero en afirmar que toda la realidad puede explicarse mediante el comportamiento de partículas indivisibles, los átomos.

Las matemáticas del infinito

Históricamente, los matemáticos sólo habían dado rodeos alrededor del concepto del infinito. En el XVII, Galileo había encontrado una paradoja (llamada la paradoja de Galileo) al tratar relaciones de menor, igual y mayor con conjuntos infinitos, por lo que había concluido que no tenía sentido hablar de estas nociones cuando no se trata con conjuntos finitos.

Sin embargo, en el siglo XIX, Georg Cantor introdujo la teoría de conjuntos y sistematizó el trabajo con los conjuntos de tamaño infinito, a través de los llamados números transfinitos. Su trabajo fue causa de polémica y burla entre algunos matemáticos de la época. Pero una parte de la comunidad matemática, que se convertiría en mayoría, vio en la teoría de conjuntos un nuevo enfoque fundamental de las matemáticas.

Hubble eXtreme Deep Field
NASA. Hubble eXtreme Deep Field. 2012. Dominio público, vía Wikimedia Commons. Los matemáticos griegos distinguían el infinito actual (definido, compuesto por infinitos elementos) y el infinito potencial (por definir, compuesto por un número siempre creciente elementos). Este segundo concepto, que podríamos llamar ilimitado más que infinito, se ajusta mejor a la manera de pensar que adoptan los matemáticos del XIX y el XX para construir la teoría transfinita de conjuntos.

Cantor coincidía con Galileo en que los conjuntos infinitos no tenían las mismas reglas que los conjuntos finitos. Él propuso, en cambio, una manera de trabajar con el tamaño de los conjuntos infinitos. Las demostraciones sobre los distintos tamaños de infinito y las relaciones que existen entre ellos serían difíciles de resumir aquí; son cosa de otro artículo. Uno de los puntos clave que merece mencionar es la demostración de que hay conjuntos infinitos que no “caben” en otros conjuntos infinitos, digamos porque son de “mayor tamaño”; más aún, hay un número infinito de tamaños de infinito, cada uno mayor que el anterior, por lo que no existe un infinito absoluto, mayor a todos.

No es complicado entender que los detractores de Cantor le acusaran de hacer pasar filosofía por matemáticas. Sin embargo, muchos otros comenzaron a trabajar sobre sus teorías, a construir sistemas axiomáticos que evitaran inconsistencias y a elaborar más sobre los cimientos puestos por el matemático alemán. El infinito es un concepto tan inevitable pero tan poco intuitivo, que haber formalizado aspectos de su naturaleza y haber extraído conclusiones nuevas y coherentes, parecía significar que el potencial de las matemáticas realmente no tenía límite.

Aleph Null
Aleph Null. Cantor utilizó aleph, la primera letra del alfabeto hebreo, que además representa el número uno, para denotar un cardinal infinito. Aleph null o aleph cero es el nombre que le dio al infinito más pequeño, el infinito numerable. El historiador Joseph Dauben comenta que la elección de esta letra también es la representación de un nuevo comienzo.

David Hilbert, un personaje central en las matemáticas de inicios del XX, afirmó que nadie podrá expulsarnos del paraíso que Cantor ha creado para nosotros. Sin embargo, continuar con la esperanza de los racionalistas modernos y mantener el optimismo sobre la teoría de conjuntos no resultó tarea fácil. En los primeros años del siglo XX, comenzó la llamada crisis de los fundamentos de las matemáticas (Grundlagenkrise der Mathematik), tras el descubrimiento de varias paradojas que aparecían al intentar justificar los fundamentos de las matemáticas desde dentro y que provocaría un intenso desacuerdo entre distintas escuelas de pensamiento. Se realizó un extenso trabajo para axiomatizar y definir las matemáticas, del que formaría parte el llamado Programa de Hilbert. Sin embargo, en 1931, un joven Kurt Gödel, publicaría dos teoremas que cerraron la discusión: demostró no es posible construir un sistema formal completo y consistente.

El descubrimiento de las barreras formales

Completitud y consistencia

¿Cuáles son las propiedades que necesita un sistema formal, como las matemáticas, para demostrar de manera fiable todo el conocimiento que le es accesible?

Un sistema formal está compuesto, principalmente, por:

Pues bien: podría suceder que existieran frases verdaderas que no fueran teoremas. Es decir, frases que expresan verdades en el sistema, pero que los axiomas y las reglas no pueden derivar. A este sistema lo llamamos incompleto.

También podría ser que al aplicar las reglas a los axiomas, puediéramos obtener un teorema y al mismo tiempo su negación. En otras palabras, el sistema podría ser contradictorio. A este sistema lo llamamos inconsistente.

Por lo tanto, lo que interesaba a los matemáticos durante la crisis del XX era demostrar que las matemáticas son un sistema completo (todo lo que es verdadero es demostrable) y consistente (todo lo que es demostrable es verdadero).

Ilustración del libro de Collodi, ''Las Aventuras de Pinocho''
Carlo Chiostri. Ilustración del libro de Collodi, ''Las Aventuras de Pinocho''. 1901. Dominio público, vía Wikimedia Commons. ¿Qué pasa si Pinocho dice que le va a crecer la nariz en este momento? Este tipo de paradojas, que revelan inconsistencias en un sistema formal, suelen darse en lenguajes que permiten la autorreferencia; es decir, que tienen frases que pueden referirse a sí mismas.

Teoremas de incompletitud

Pues bien, Gödel presentó en 1931 las demostraciones de dos teoremas que marcarían para siempre una barrera insalvable para las matemáticas y cualquier sistema formal.

  1. Cualquier teoría aritmética recursiva que sea consistente es incompleta. Es decir, un sistema formal que pueda expresar los números naturales, la suma y la multiplicación, no puede ser completo a no ser que los axiomas sean inconsistentes.
  2. En toda teoría aritmética recursiva consistente T, la fórmula “T es consistente” no es un teorema. Es decir, un sistema formal que pueda expresar los números naturales, la suma y la multiplicación y que sea consistente, no puede demostrarlo a partir de los axiomas y, por lo tanto, no es completo.

Las implicaciones de esto fueron y son devastadoras para el optimismo matemático. Eso significa que a partir de un mínimo de complejidad, ningún sistema formal puede ser completo y consistente a la vez. En otras palabras; si construimos un sistema formal consistente y completo, este debe ser tan simple que no pueda siquiera representar los números naturales con suma y multiplicación.

El trabajo de Gödel para estas demostraciones se servía de un sistema de codificación propio (la numeración de Gödel), que le sirvió para representar símbolos de un lenguaje como números. Este método tiene una clara influencia de Leibniz, cuyo trabajo había interesado a Gödel muy temprano. Resulta irónico que a través de la realización de una de las ideas del racionalista alemán, la de trasladar el pensamiento lógico a cálculos matemáticos, demostrase imposible su mayor esperanza: la del lenguaje universal para el cálculo de todas las verdades. Apenas unos años más tarde, en 1936, Alan Turing fundaría las ciencias de la computación e iría llegando a conclusiones paralelas sobre la imposibilidad de resolver de ciertos problemas de cómputo, que no he querido tratar en este artículo para no alargarlo de más.

Le paradis (como se usó en La Révolution surréaliste)
Max Ernst. Le paradis (como se usó en La Révolution surréaliste). 1927. Dominio público, vía Wikimedia Commons. Aunque la crisis de los fundamentos de las matemáticas no fuese ni la única ni la mayor de primera mitad de siglo, está claro que, junto al descubrimiento de la relatividad general y la mecánica cuántica, volvían a hacer del mundo algo incomprensible. En el arte, coincide con las vanguardias, que experimentan con el absurdo, lo surrealista, lo subjetivo; la realidad no es algo que se pueda describir.

El capricho de lo formal

Así como ha existido el optimismo sobre las matemáticas y la lógica, también han existido siempre corrientes filosóficas que han encontrado caprichosa y optimista la posibilidad de que un sistema formal contenga la verdad, no por los defectos del sistema, sino por la propia naturaleza del mundo, de nuestro entendimiento o cómo ambas se relacionan.

Críticas a la noción de universalidad

Las matemáticas están estrechamente relacionadas con las nociones de eternidad y universalidad: la verdad permanente e inmutable. Los filósofos clásicos estudiaron estas ideas; hemos hablado de Pitágoras y a Platón, así que sería injusto no mencionar a Parménides de Elea, fundador de la escuela eleática. Según él, lo inmutable es lo único que existe y el cambio y el movimiento son una ilusión. Heráclito de Éfeso, defendía una postura diametralmente opuesta: el cambio es lo único constante (todo fluye, panta rhei). Heráclito concebía el mundo como un eterno devenir y el conocimiento como una asimilación de la experiencia, no como una acumulación de máximas. Su seguidor más notable, Crátilo de Atenas, llevó esta doctrina al extremo, llegando a afirmar que nada se puede decir acerca del mundo en constante cambio. En la filosofía heracliteana no hay una mención explícita de los números o las matemáticas, pero su visión sobre el constante cambio, un desprecio expreso por Pitágoras y las diferencias con Platón nos pueden dar una idea de que no tendría en mucho estima este saber.

Atalanta
Pierre Lepautre. Atalanta. 1704. CC0 1.0, vía Wikimedia Commons. En su paradoja de la dicotomía, Zenón, filósofo eleático, señala que si Atalanta quiere llegar al final del camino, primero debe alcanzar la mitad del camino, pero antes de eso, debe alcanzar un cuarto, y antes un octavo, y así, infinitas secciones del espacio. Zenón concluye que si el movimiento requiere de infinitos pasos, lo que es imposible, debe de ser una ilusión.

Entre los siglos XIII y XIV, Guillermo de Ockham se convirtió en la principal figura del nominalismo medieval (o del conceptualismo o del terminismo, según el autor). El nominalismo considera que toda la realidad es particular y que los universales no existen, más que como nombres o conceptos mentales. Para Ockham, la única necesidad ontológica es Dios y todo lo demás es contingente; es decir, que cualquier aspecto de la realidad podría ser distinto al que es y no supondría una contradicción fuera de nuestra mente. Si bien trabajó sobre la lógica formal, llegando a anticipar conceptos como la ley De Morgan y la lógica ternaria, su postura es escéptica con respecto a la razón humana. Considera que nuestro entendimiento es limitado y que no tiene por qué corresponderse con la realidad ni alcanzar toda la verdad. El nominalismo matemático tiene sus raíces en el pensamiento de Ockham, que en concordancia con su tesis sobre los universales, sostiene que los objetos matemáticos no existen fuera de la mente humana.

Durante la Edad Moderna, tras la aparición del racionalismo cartesiano, surge la filosofía empirista, con David Hume como su máximo exponente en el siglo XVIII. Como su nombre indica, el empirismo sólo acepta verdades empíricas, aquellas que se adquieren mediante la percepción, mediante impresiones de los sentidos. La crítica de Hume, por lo tanto, se aplica a las ciencias (método inductivo), más que a las matemáticas (método deductivo). No tenemos impresiones del pasado ni del futuro, no tenemos impresiones de cosas abstractas y mucho menos tenemos impresiones de la relación entre nuestra razón y el mundo exterior. No se puede demostrar empíricamente la validez de ningún modelo abstracto porque no podemos demostrar empíricamente la diferencia entre correlación y causalidad. Por lo tanto, Hume reduce las ciencias formales (y con ellas nuestro conocimiento de lo universal) al producto de asociaciones imaginarias a las que nos hemos acostumbrado, pero que no pueden explicar la realidad y no son muy distintas de la superstición. Para Hume, si los universales existen, entonces no los podemos conocer.

La Trahison des Images
René Magritte. La Trahison des Images. 1929. © LACMA. El famoso cuadro de Magritte señala, mediante la autorreferencia, la diferencia esencial entre el objeto y su representación. El modelo y lo modelado se confunden con facilidad en nuestra mente y hace falta un acto voluntario para separarlos porque, como diría Hume, nos hemos acostumbrado a que se corresponden.

Naturaleza de los objetos matemáticos

La discusión sobre los universales se traslada inevitablemente a las matemáticas desde el principio, con Platón y Aristóteles, y se extiende a los fundamentos de las matemáticas durante la crisis de principios del XX. En este momento, surgen muchas corrientes en la filosofía de las matemáticas, que intentan resolver los problemas ontológicos y epistemológicos que aparecen al intentar explicar la naturaleza de los objetos matemáticos. Se pueden agrupar de manera general en tres grandes grupos:

Triángulo de Penrose
Triángulo de Penrose. Algunos objetos imposibles son más que ilusiones ópticas, porque pueden definirse en geometrías no euclídeas. Para los platónicos, estos objetos tienen sentido como algo real, en un plano abstracto; para los realistas, estos objetos solo tienen sentido si algún aspecto de la realidad presenta sus propiedades; para los anti-realistas, sólo son una ficción con un sentido inventado.

El problema de la verdad lógica

Otra de las posturas que surgió entre el XIX y el XX fue el logicismo. Postula que las matemáticas son una parte de la lógica formal y que, por lo tanto, las verdades matemáticas, como verdades lógicas, tienen una naturaleza puramente analítica. No obstante, tanto Gottlob Frege como Bertrand Russell, sus principales representantes, encontraron dificultades para reducir las matemáticas a pura lógica, sin perder su naturaleza analítica (por ejemplo al incurrir, en paradojas o recurriendo a axiomas no lógicos).

La lógica también sufre evoluciones más o menos relacionadas con la crisis de los fundamentos de las matemáticas. Se desarrollan nuevas lógicas no clásicas, que sistematizan de distintas maneras el razonamiento sobre la verdad. Aquí sólo mencionaré dos de ellas: la paraconsistente y la intuicionista:

Por otro lado, al poco de la publicación de los teoremas de incompletitud de Gödel, Alfred Tarski publica su teorema de la indefinibilidad. En él, demuestra que ningún lenguaje formal suficientemente expresivo puede representar su propia semántica y que, por lo tanto, un metalenguaje que sí la exprese, debe ser más expresivo que el lenguaje en sí. En otras palabras, un sistema formal no puede representar la verdad internamente.

Aristóteles enseñando a Alejandro
J. L. G. Ferris. Aristóteles enseñando a Alejandro. 1895. Dominio público, vía Wikimedia Commons. Aristóteles define la verdad como decir de lo que es que es, o de lo que no es que no es. Las ciencias modernas consideran cierto aquello que es demostrable. Tarski considera que ambas concepciones deben hacerse avanzar la una a la otra, que hace falta una adecuación material entre las teorías formales y el mundo real.

El desengaño de la forma

La relación entre el ser humano y la verdad es, cuanto menos, compleja. Nuestro deseo de comprender nos lleva tras respuestas que parecen esconderse siempre en los ángulos ciegos de nuestro entendimiento. Habíamos confiado durante siglos en el poder de la representación para ayudarnos a describir por completo la realidad, pero finalmente lo formal resultó estar autolimitado y nosotros, como siempre, incomunicados con la verdad. No importa si miramos hacia dentro o hacia fuera, hacia el pasado o hacia el futuro; tanto la intuición como la razón se agotan antes de cubrir siquiera un milímetro de la distancia que nos separa de la certeza. Como entre Aquiles y la tortuga, cualquier apariencia de contacto con ella es tan sólo una ilusión.

Sin embargo, las matemáticas y las ciencias no se han detenido. Ni estériles ni inútiles, ocupan el papel que han ocupado siempre, mostrándonos la estructura del mundo que sí se parece a nuestra mente. No debemos dejar de explorar los límites de nuestra capacidad, pero sí vivir con ellos, porque no tenemos otra capacidad; y, como el Quijote, andar el camino de nuestra versión de la realidad, porque tampoco tenemos otra versión. Nuestra única opción es la fe; no la que lleva mayúscula, sino la que reconecta al solipsista con el mundo. Una fe provisional para toda la vida, compatible con un escepticismo que nos permita revisar nuestros modelos mentales y retar la costumbre que critica el empirismo, pero que cimiente la confianza en todo lo que, como individuos y como especie, podemos conseguir.

Don Quijote y Sancho Panza
Cesare Detti. Don Quijote y Sancho Panza. Antes de 1914. Dominio público, vía Wikimedia Commons.

Referencias